Bulletin of the Faculty of Education, Yamaguchi University. Natural science
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Bulletin of the Faculty of Education, Yamaguchi University. Natural science Volume 16 Issue 2
published_at 1967-03
On the Taylor coefficients of Simple Functions.
単葉函数のTaylor係数について
Tamura Toshio
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ある面分Dで一価正則でかつ単葉である函数f(z)については従来多くの結果が得られている。ここではこれ等の結果について初等的に別な角度から少し論究してみることにする。順序として先ず面積定理から初める。(定理)w=f(z)=z+Σ^^∞__<n=1>(a_n)/(z_n)を∞>|z|>1で正則かつ単葉とするとΣ^^∞__<n=1>n|a_n|^2≦1(証明)|z|=r(r>1)のw平面への写像の閉曲線をCとし,Cで囲まれた面積をJとすると,w=f(z)=u+ivとおくとJ=∫_cudv今,z=re^<iθ>とおいて上式を変形するとJ=∫^<2II>_0u(θ)v'(θ)dθ=∫^<2II>_0(w(θ)+w^^-(θ))/2・(w'(θ)-w^^-'(θ))/(2i)dθ=∫^<2II>_0{(re^<iθ>+re^<-iθ>)/2+Σ^^∞__<n=1>a_ne^<-inθ>+a^^-_ne^<inθ>}×{(re^<iθ>+re^<-iθ>)/2-Σ^^∞__<n-1>(na_ne^<-inθ>+na^^-_ne^<inθ>)/(2r^n)}dθ=IIr^2-Σ^^∞__<n=1>(n|a_n|^2)/(r^<2n>)II
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