On Differential Equation of Complex Variables.

複素変数の微分方程式について

On Differential Equation of Complex Variables.

Creators Tamura Toshio

変数が複素数である場合の一階微分方程式の解について一つの考察をする。与えられた微分方程式を(dz)/(dw)=(f_1(z,w))/f_2(z,w)) -(1)ここでf_1(z,w),f_2(z,w)はzとwのある面分で一価正則とすると(f_1(z,w))/(f_2(z,w))は有理型である。今f_2(z_0,w_0)≠0とすると(1)を満すw=φ(z)が存在して,W_0=φ(z_0)のような函数が一つあって唯一つに限るのである。f_2(z_0,w_0)≠0であるから(w_0,z_0)の近傍で|(f_1(z,w))/(f_2(z,w))|<Mになる正数Mが定まる。z-z_0≦a,|w-w_0|<bとしたときaM<bとなるようにa,bがとれるすると(1)の解が存在してそれをw-w_0=c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+………(2)と書くと|z-z_0|〓aで収束する。このようなwが二つあったとして,それを,φ_1(z),φ_2(z)とし,(dw)/(dz)-(f_1(z,w))/(f_2(z,w))=F(w,z)とかく(1)の式は,F(w,z=0となる。z_0の近傍の共通部分でF{φ_1(z),z}=F{φ_2(z),z}=0となるから,φ_1(z)はφ_2(z)の解析接続となる従って(1)の解w=φ(z)は唯一つとなる。次にf_2=0になる点について吟味する。zをz'に近づけたとき,(1)の収束半径が段々小さくなって,z'より先に進めなくなる

[ISSN]0513-1693

[NCID]AN00243950