On Picard's Theorem.

Picardの定理について

On Picard's Theorem.

Creators Tamura Toshio

真性特異点に関するPicardの定理は今まで色々な方法で証明されて居るが,ここで若干の工夫を加えた一つの証明法を述べる。無論そのための補助定理とし,Bloch, Landau,Schottky等の定理は利用する。 補助定理I w=f(z)をlzl≦1で正則,f(0)=0,f'(0)=1とすればw=f(z)による|z|<1の写像であるRiemann面Φは半径が一定正数Bである単葉円板を必ず含む。(Bloch) (証明) 仮定からf(z)=z+a2z^2+………… f'(z)=1+2a_2z+………となり,何れも|z|≦|で正則で<max>___<|z|=r>|f'(z)|≧1 (r≦1) <max>___<|z|=0>|f'(z)|=|f'(0)|=1 今<max>___<|z|=1-θ>|f'(z)|=g(θ)お<と,g(θ)は,0≦θ≦1で連続である。そして,θ=0の時θ.g(θ)=0 θ=1の時θ.g(θ)=1 故にθ.g.(θ)=1となるθの最小値αが0≦θ≦1の間に必ずある。すると,g(x)=1/αとなり,θ<αの時,g(θ)<1/θ 又,g(θ)はθの減少関数であるからg(θ<2/α (α/2<θ<α) 即ち,1-α<γ<1-α/2なるリング内で

[ISSN]0513-1693

[NCID]AN00243950