On an application of Function

函数の一つの応用

On an application of Function

Creators Tamura Toshio

既知のようにLegendreの第一種の積分と言はれているU=∫^z_0(dz)/(√(1-z^2)(1-k^2z^2))=∫^φ_0(dφ)/(√1-k^2sinφ^2) (Z=sn(U,k)=sinφ,φ=amu)の母数kをより小さなk_1を用いる積分に変形してこの積分の値を計算するのに有効な方法をLandenが創意した。すなわち,sinφ_1=((1+k')sinφcosφ)/(√1-k^2sin^2φ),k_1=(1-k')/(1+k')なるとき,∫^φ_0(dφ)/(√1-k^2sin^2φ)=(1+k_1)/2 ∫^<φ_1>_0(dφ)/(√1-k_1^2sin^2φ_1)と変形するのである。すると,0<k<1のとき0<k'<1となりk_1=(1-k')/(1+k')=(k^2)/(1+k'^2)<k (k^2+k'^2=1)